انیشتین
 

استاد راهنما:
 

جناب آقای دکتر رضا افضلی
 

زمستان 1393
 

(در فایل دانلودی نام نویسنده موجود است)

چکیده
 

درهم­تنیدگی یک خصیصه‌ی بنیادی مکانیک کوانتومی است که تفاوت اساسی بین فیزیک کلاسیکی و کوانتومی را تعیین می‌کند. حالت‌های درهم­تنیده بیانگر نوعی همبستگی کوانتومی غیرموضعی بین زیرسیستم‌ها است وکاربردهای فراوانی در تئوری اطلاعات کوانتومی دارد. تحقیقات گسترده‌ای روی حالت‌های درهم­تنیده انجام شده است که یکی از نتایج قابل توجه، شناخت درهم­تنیدگی به عنوان یک منبع است، مانند انرژی که می‌تواند برای اجرای کارهای دلخواه فیزیکی مورد استفاده قرار بگیرد. در واقع درهم­تنیدگی همانند پتانسیل در فرآیندهای فیزیکی عمل می‌کند و دارای مقدار کمّی است. هر تابعی که مقدار کمّی درهم­تنیدگی را مشخص کند، معیار درهم­تنیدگی نامیده می­شود. معمولا برای محاسبه­ی درهم­تنیدگی از تابع توافق استفاده می­شود که این تابع، عددی بین صفر و یک است، به طوریکه مقدار صفر بر درهم­تنیده نبودن سیستم و مقدار یک بر بیشینه­ی درهمتنیدگی دلالت می­ کند.
اگرچه درهم­تنیدگی یک منبع کلیدی از فرآیند اطلاعات کوانتومی است اما در سال­های اخیر مشخص شده است که سیستم­های همبسته­ی کوانتومی فقط مختص به درهم­تنیدگی نیست، بلکه سیستم­های بدون درهم­تنیدگی هم می­توانند جزء سیستم­های همبسته­ی کوانتومی به حساب آیند که تحت عنوان ناسازگاری کوانتومی شناخته می­شوند. ناسازگاری کوانتومی نوعی از همبستگی کوانتومی است که به عنوان اختلاف بین اطلاعات متقابل کوانتومی و همبستگی کلاسیکی در یک سیستم دو بخشی تعریف می­شود. به طور کلی، این همبستگی با درهم­تنیدگی تفاوت دارد و ناسازگاری کوانتومی ممکن است برای حالت­های مجزای ویژه­ای غیرصفر باشد درحالی که سیستم درهم­تنیده نیست. در نمونه­های ساده­ای از سیستم­های دو بخشی کوانتومی، همبستگی­های کوانتومی دارای کاربردهای مهمی در تئوری اطلاعات کوانتومی می­باشند. تاکنون، ناسازگاری کوانتومی تنها برای رده­های محدودی از سیستم­های کوانتومی دو کیوبیتی محاسبه شده است و بیان آن برای حالت های کلی کوانتومی ناشناخته است. ناسازگاری کوانتومی را می­توان در سیستم­های دو بخشی و چند ­بخشی کوانتومی فرمول­بندی کرد. از آنجا که ریشه­ نظریه­ی کوانتومی در سیستم­های دو بخشی است، طبیعی است به مطالعه­ سیستم­های ماکروسکوپیکی از طریق اندازه ­گیری­های دو بخشی پرداخته شود. در حقیقت به جزء موارد اندکی استثناء، ادبیات رایج برای تحلیل سیستم­های چند بخشی استفاده از سیستم­های دو بخشی است.
ناسازگاری کوانتومی یک روش مناسب برای تمیز دادن طبیعت همبستگی­ها بین مولفه­های سیستم کوانتومی است و یک نمایشگر کیفی برای وجود گذار فاز کوانتومی می­باشد. گذار فاز کوانتومی یک تغییر کیفی در حالت پایه­ی یک سیستم بس ذره­ای کوانتومی است و برخلاف گذار فاز معمولی که در دماهای غیر صفر رخ می­دهد، افت وخیزهای موجود در گذار فاز کوانتومی به طور کامل کوانتومی است.
می­خواهیم درهم­تنیدگی و ناسازگاری کوانتومی در چگاله­ی بوز- انیشتین را مورد بررسی قرار دهیم. هرگاه تعداد بسیار زیادی ذره­ی یکسان بوزونی را تا دمایی به نام دمای بحرانی سرد کنیم، بوزون­ها در پائین­ترین سطح انرژی قرار می­گیرند. در این حالت یک گذار فاز کوانتومی اتفاق می­افتد و چگاله­ی بوز- انیشتین شکل می­گیرد. چون ذرات در این چگاله در حالت کوانتومی یکسان قرار می­گیرند، می­توانیم این ذرات را با یک تابع موج توصیف کنیم، بنابراین  هزاران و یا میلیون­ها اتم مثل یک ذره رفتار می­ کنند و به عبارت دیگر به ابر اتم تبدیل خواهند شد.
در سیستم­های بوزونی با بهره گرفتن از تقریب بوگولیوبوف حالت پایه­ی یک سیستم بوزونی ایستای یکنواخت را بررسی می­ کنند و سپس اصول چگاله­ی بوزونی را به دماهای محدود و سیستم­های غیر یکنواخت تعمیم می­ دهند. با معرفی تابع موج چگاله که میانگین آنسامبلی عملگر میدانی فنا می­باشد، هامیلتونین سیستم بوزونی را بر حسب تابع موج چگاله به صورت معادله­ی خودسازگار هارتری بدست می­آورند. با معرفی عملگرهای هایزنبرگ، یک معادله­ی دیفرانسیلی انتگرالی جفت شده برای تابع گرین تک ذره­ای و تابع گرین نامتعارف بدست می­آید و با فرض اینکه تابع موج چگاله مستقل از زمان باشد و با بهره گرفتن از تبدیل فوریه این معادله­ی دیفرانسیلی انتگرالی جفت شده را محاسبه می­ کنند و تابع گرین تک ذره­ای و تابع گرین نامتعارف را در فضای تکانه بدست می­آورند.
ما تابع گرین تک ذره­ای و تابع گرین نامتعارف را در فضای مکان و در دمای صفرمطلق در دوحالت، پتانسیل دلتای دیراک و پتانسیل ثابت بدست خواهیم آورد. سپس ماتریس چگالی دو ذره­ای را بر حسب توابع گرین بدست آمده محاسبه خواهیم کرد. با بهره گرفتن از ماتریس چگالی، همبستگی­های کلاسیکی و کوانتومی سیستم را بدست می­آوریم، همچنین ناسازگاری کوانتومی را که به عنوان اختلاف بین تمام همبستگی­ها و همبستگی­های کلاسیکی تعریف می­شود را محاسبه می­کنیم. با بهره گرفتن از تابع توافق درهم­تنیدگی را بدست خواهیم آورد و در پایان با بهره گرفتن از ناسازگاری کوانتومی که نمایشگر کیفی از گذار فاز کوانتومی می­باشد، اطلاعاتی در مورد گذار فاز بدست خواهیم آورد.
 
کلید واژه: ناسازگاری کوانتومی، درهم­تنیدگی کوانتومی ، اطلاعات متقابل کوانتومی، همبستگی­کلاسیکی،گذارفازکوانتومی.
 

فهرست مطالب
 

عنوان                                                                                                                               صفحه
فهرست جدول‌ها ‌د
فهرست شکل‌‌ها ‌ه
فهرست علایم و نشانه‌ها و
فصل اول :ناسازگاری کوانتومی در سیستم‌های دو بخشی و چند بخشی 1
1-1- مقدمه. 2
1-2- ناسازگاری مبتنی بر اندازه‌گیری. 4
1-2-1- تعریف اصلی ناسازگاری 5
1-2-1-1- تعریف ناسازگاری  5
1-2-1-2- ویژگی­های اساسی ناسازگاری اصلی 8
1-2-2- ناسازگاری گاووسی 10
1-2-2-1- تعریف ناسازگاری گاووسی 10
1-2-2-2- ویژگی­های اصلی ناسازگاری گاووسین 12
1-2-3- ناسازگاری کروی 12
1-2-3-1- تعریف ناسازگاری کروی 12
1-2-3-2- ویژگی­های بنیادی ناسازگاری کروی 14
1-3- ناسازگاری مبتنی بر فاصله. 14
1-3-1- ناسازگاری مبتنی بر آنتروپی نسبی 15
1-3-2- ناسازگاری مبتنی بر قاعده­ی مربع (مجذور) یا ناسازگاری هندسی 16
1-4- سایر اندازه ­گیری­های همبستگی­های کوانتومی. 17
1-5- دینامیک ناسازگاری. 19
1-5-1- ناسازگاری در حفره­ی QED 19
1-5-2- ناسازگاری در سیستم­های اسپینی و نقطه­ای کوانتومی 21
1-6- محاسبه­ی همبستگی کلاسیکی. 22
1-7- درهم­تنیدگی کوانتومی. 26
1-8- گذار فاز کوانتومی(QPT) 28
فصل دوم: تابع گرین سیستم‌های بوزونی 30
2-1- فرمول­بندی کلی. 31